ウェブサイトに「因数定理」の章をアップ

1か月ぶりぐらいに新しい章を追加しました。
今回のテーマは「因数分解」です。


1-6.因数定理と代数方程式の解の探し方

今回の話は、少し計算方法みたいな話で面白くないかもしれません。
ただ、因数定理やそれを用いた代数方程式の解法を利用した、
ベア・ストウ法というコンピュータによる計算方法があって、
これは自分が大学1年生のときに知って、ポケコンのBASICで初めて組んでみたプログラムだったりします。
実際に代数方程式が複素解だろうがなんだろうが解けてしまうというのを体験して
非常に印象に残っているので入れました。
ただ、ベア・ストウ法自体は、速度・精度の面で優れているとは言い難いようですｗ
興味のある方はググってみると色々と出てくると思います（他力本願）

それはさておき、因数分解の話をいれたのは、四元数という最終目標が考え出された背景に、
因数分解についての考察があったというのがあるからです。
少しずつ残りの章についての構成などを考えているのですが、この点をどう描くかは結構迷っていたりします。

さて、次回の予定は複素平面です。ただ、三角関数（と加法定理）などを書きたい気持ちもあるのですが、
それを書くとなると図とかが必要で大変だなあとか、
オイラーの公式については触れるのか？とか、
いろいろ考えることがあって、また時間がかかりそうです。

【読書】ファインマン講義・重力の理論

少しずつこちらや本家サイトも再開しようとしているのですが、
昨日、長文の記事を書いてアップしようとしたらエラーで全部きえてしまいましたｗｗｗ

というわけで、気力が萎えたので適当です。


今回とりあげる本は、これです。
「ファインマン物理学」シリーズなどはけっこう有名かと思いますが、
この本は絶版なので手に入りにくいです。高いですし。
私はたまたま近所の市立図書館にあったので借りました。
なんでこんなマニアックな本が置いてあったのか謎ですｗ
というわけでアフィリエイト貼り付けてもアフィリエイトにならないという罠もありますが・・・

さて、この本で一般相対論を勉強することは、まったくお勧めしません。
むしろ、一度、一般相対論やら場の量子論やらを勉強し、
現代物理学の枠組みが一定あたまに入った状態で読まないと、のっけから意味不明でしょう。
というのも、最初にファインマンのお家芸ともいうべき「ファインマンダイアグラム」を用いて、
重力子があったとしたら、それがスピン2になるということを説明するところから始まるからです。
ファインマンダイアグラムなんて場の量子論やらないと出てきませんから、
学部生じゃ入口で躓いてしまうでしょう。

ですが、一度物理の酸いも甘いも知った人が読めば、
この議論が意味するところを理解し、ニヤリとできるはずです。
ここでは、スピンの議論に続き、変分原理といくつかの重力についての実験事実を用いて、
アインシュタイン方程式にたどり着きます。
ここでは等価原理や時空の幾何学といったものは一切出てきません。
これはすごいと思いました。
いわゆる一般相対論の用いる様々な道具立てなしに、アインシュタインと同じ重力場の方程式に到達できるのですから。
この辺のオーソドックスな教科書とは全く違った切り口で話を組み立てるところは、
ファインマンならではの面白いところです。

もちろん、重力場中における電磁気現象などを調べるためには、
等価原理や重力場が実は時空の曲がり具合を表すといった、幾何学的な側面を導入しないわけにはいきませんから、
後半は普通の一般相対論の講義に近い形になってきます。
そこでも、ブラックホール（当時はスーパースターと言った。ブラックホールの命名はファインマンの師匠、ウィーラーが1965年にした）についてや、
恒星や銀河についての計算機を用いた計算など、
当時の最先端の議論が踏まえられています。
時代の雰囲気をつかむという意味でも興味深い本でした。

この本で知ったのですが、ファインマンは1961年のノーベル賞受賞の前後で、
重力場の量子論に取り組んでいたようです。
この講義は、大学院生向けの講義であると同時に、ファインマンの思考の記録でもあるわけです。
結局、重力場の量子化には成功しませんでした。本書の16章第2節で、
「この理論はたぶん繰り込み可能ではないと思う。繰り込み可能でないことが、理論にとって真の問題点なのか、私にはわからない。」
とファインマンは言っています。
しかし、50年たった今も、重力場の量子化はいまだに成功せず、いまなお物理学に残された大問題であり続けているわけですから、
やはり「真の問題」だったというべきなのでしょうか。
おそらく、当時としては「繰り込み」（これで朝永やファインマンらがノーベル賞をとったわけですが）について、
一時的、あるいは緊急避難的な発散の回避方法であって、
早晩これに代わる計算方法なり理論枠組みが出てくるという考えがあったのではないかと思います。
ところが、予想に反してそこから半世紀たった今でも「繰り込み」を超えるものがでていないわけです。
私も、この「繰り込み」というものには不十分さを感じずにはいられませんし、
それはおそらく、物理学をやっている人々にとって共通認識ではないかと思います。

重力場の量子化についてきちんと考えてみたいと思っている人にとって、
一度は読んでおくといい本なのではないかと思います。

本サイト記事執筆中

最近、すっかり分家のゲーム日記専用ブログしか更新してなかった。
まあ、ブログ２つを更新とか、大変すぎるんでｗ

だが、最近本サイトの記事を少しずつ書き始めている。
次の話題は代数方程式なわけだが、ここ最近中学生に数学を教える機会を得て、
記事を書くとっかかりのようなものをつかみつつある。
中学生に教える中で、
文字式・1次方程式・連立方程式・2次方程式といったところをどう教えたらいいのか、
初学者がどんなところでつまづき、どこにこれらの肝となるアイディアがあるのか、
ということが見えてきた。
教えるということは、自分もより深い理解へといざなってくれる。

その副作用として、文章の語り口がずいぶん柔らかくなったような気がするｗｗｗ
ま、それはそれでいい効果だと思いますが。

記事を書いていて驚いたのは、けっこう基本的なことでも、きちんと調べようとすると大変だということ。
たとえば、「2次方程式の解の公式」は、いつごろ発見されたのか？
どのように発展して今のような形へと整備されたのか？
ということすら、きちんと解答を与えてくれる本なりウェブサイトなりはない。
というか本やサイトによって、その解答がまちまちなのだ。

もちろん、数学の計算技術や記法というものは徐々に整備されてきたわけで、
負の数の概念がなかった時代に、いまのような解の公式が存在するわけがない。
一方で黄金比などの具体的問題において、2次方程式が解かれている形跡はある。
それが一定の手順として「公式」化されるには、それなりの歴史的な期間が必要なのだろう。
改めて数学史・科学史の奥深さを実感している。

記事については近日中にアップする予定です。
おそらく、いまウェブの目次にあるような構成からは若干の変更を行うことになるでしょう。

実数論の記事をアップ

本サイトのほうはほとんど放置気味で、波動関数のグラフィカルな表示に関する記事を少々手直しするぐらいだった。
（これも実をいうといろいろと加えておきたい事柄がある・・・）

今日、久しぶりに「数学の基礎」の第4回をアップした。
http://sammaya.garyoutensei.com/math_phys/math1/math1-4/math1-4.html

もともとこの連載文章、最初の予定では次の代数学の基本定理の話から入るつもりだった。
しかし、数を広げる、という問題関心からいって、完備化などの実数の話抜きでいいのか、と思い、
これまでの4回を付け加えることにした。
ところが、これが予想以上に大変で、やはり完備化のところをどう書くかが問題になった。
厳密な議論は教科書をきちんと読めばいいわけだし、ウェブ上で読める読み物としては、
その議論のストーリーみたいなものをつかめればいいと思ったのだが、これがなかなか難題だった。
結局、順序完備化をごまかして、コーシー完備化をメインに話を進めることにした。
これは解析学とのつながり的にも、具体的なイメージをつかむ上でもこちらのほうが有用と思ったからだ。
また、量子力学にでてくる波動関数はヒルベルト空間という空間に属するわけだが、
ヒルベルト空間が＜完備＞といったとき、これは＜コーシー完備＞のことをいう（というか順序集合ですらない）。
そういう観点からより一般的なコーシー完備のほうを採用させてもらった。
ただ、今回の第4回にしても、連続性についてもうちょっと展開したほうがいいのかな、とも思っている。
ウェブの文章としてこれ以上長いと読んでもらえないのでは、という恐怖心もあって、一つ一つを短くしているのだが、
読み返してみると連続性について、かなり唐突にいっているだけに見える。
次回のテーマ「代数学の基本定理」も、その表題とは逆（？）に、解析学の定理を用いて証明される。
そこでは、有界で連続な写像の性質というのが使われているわけで、やはり連続性についてもうちょっと詳しく論じたほうがいいのかも、という気がしている。

この4回は苦手な基礎論のところを自分なりに勉強しなおし、咀嚼しながらだったので、これからも自分の理解の進展に合わせてその都度書き換えられていく可能性が大きい。

今後連続性のところを膨らませるか、話を進めるか迷っているが、
けっこう複素数とか四元数という検索ワードでこられている方もみえるので、
やはり書きたい話を全部進めることになると思う。

8ヶ月ぶりにWEB更新

はじめに、今回の東北関東大震災において被災された方々に心よりお見舞い申し上げます。
1日も早く復興されるよう、微力ながらできる限りのことをしていきたいと思います。


さて、ゲーム日記のほうは続けていましたが、
元のメインコンテンツだったはずのPC・物理・数学系は8ヶ月も止まっていました・・・
というのも、数学編の「完備」についての項目がかけなかったからです。
これはきちんと勉強するとけっこう深い。
べつに教科書を書くわけじゃないので厳密性とかはいらないのでしょうが、
実数を実数たらしめている性質としての完備性をどう説明するか、というのは
もともとこの文章を書き始める動機のひとつでしたから、いろいろと考えたわけです。
結局、いわゆる順序完備については定義だけ紹介するとして、
コーシー完備のほうで話を組み立てることにしたのですが、これでよかったのか。
ここについては、今後も書き直していく可能性が高いです。

とりあえず、第3回をUP。とりあえず、書きたいことを全部書いていこうと思います。

数学の基礎：第3回　実数とは何か