実数論の記事をアップ

本サイトのほうはほとんど放置気味で、波動関数のグラフィカルな表示に関する記事を少々手直しするぐらいだった。
（これも実をいうといろいろと加えておきたい事柄がある・・・）

今日、久しぶりに「数学の基礎」の第4回をアップした。
http://sammaya.garyoutensei.com/math_phys/math1/math1-4/math1-4.html

もともとこの連載文章、最初の予定では次の代数学の基本定理の話から入るつもりだった。
しかし、数を広げる、という問題関心からいって、完備化などの実数の話抜きでいいのか、と思い、
これまでの4回を付け加えることにした。
ところが、これが予想以上に大変で、やはり完備化のところをどう書くかが問題になった。
厳密な議論は教科書をきちんと読めばいいわけだし、ウェブ上で読める読み物としては、
その議論のストーリーみたいなものをつかめればいいと思ったのだが、これがなかなか難題だった。
結局、順序完備化をごまかして、コーシー完備化をメインに話を進めることにした。
これは解析学とのつながり的にも、具体的なイメージをつかむ上でもこちらのほうが有用と思ったからだ。
また、量子力学にでてくる波動関数はヒルベルト空間という空間に属するわけだが、
ヒルベルト空間が＜完備＞といったとき、これは＜コーシー完備＞のことをいう（というか順序集合ですらない）。
そういう観点からより一般的なコーシー完備のほうを採用させてもらった。
ただ、今回の第4回にしても、連続性についてもうちょっと展開したほうがいいのかな、とも思っている。
ウェブの文章としてこれ以上長いと読んでもらえないのでは、という恐怖心もあって、一つ一つを短くしているのだが、
読み返してみると連続性について、かなり唐突にいっているだけに見える。
次回のテーマ「代数学の基本定理」も、その表題とは逆（？）に、解析学の定理を用いて証明される。
そこでは、有界で連続な写像の性質というのが使われているわけで、やはり連続性についてもうちょっと詳しく論じたほうがいいのかも、という気がしている。

この4回は苦手な基礎論のところを自分なりに勉強しなおし、咀嚼しながらだったので、これからも自分の理解の進展に合わせてその都度書き換えられていく可能性が大きい。

今後連続性のところを膨らませるか、話を進めるか迷っているが、
けっこう複素数とか四元数という検索ワードでこられている方もみえるので、
やはり書きたい話を全部進めることになると思う。