【数学】約数と素数の話２・約数を探す

小学校高学年あたりから、約数を使うことが多くなります。
たとえば、分数の約分も、分母と分子の公約数を探すことです。
また、中学3年で習う因数分解や平方根の計算にも、
約数を探すことが重要な要素となっています。
約数を探すときは、小さな数ならば１つ１つ探せばよいですが、
大きな数になるときは、素因数分解をするのが一番確実です。

ただ、なんのヒントもなしに割り切れる数を探すというのは、けっこう大変です。
簡単に見分ける方法があればちょっと楽ができます。
そこで、今日のテーマは、少し計算テクニックに近い話ですが、
約数を探すときに便利な、数の性質についてみていきましょう。

・２や５で割り切れる数
いちばん簡単なのは２と５です。
10=2 × 5
なので、十の位から上の数字は関係ありません。というのも、
123456 = 123450 + 6
と分けると、123450は必ず２の倍数になるので、
一の位だけみればよいことになります。
この場合は、6が2の倍数なので、123456は2の倍数ということになります。
したがって、

一の位をみて、数字が0,2,4,6,8ならば、その数は2の倍数である

ということがいえます。
同じ理屈で、

一の位をみて、数字が0,5ならば、その数は5の倍数である

といえます。

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・４や８で割り切れる数

おなじような性質として、
 100 = 4 × 25
1000 = 8 × 125
なので、

下2ケタが4で割り切れたら4の倍数

下3ケタが8で割り切れたら8の倍数

といえます。
倍数であるかどうかを確かめるためには、全部の数字を割る必要はないのです。

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・３や９で割り切れる数
次はちょっと計算が必要です。
調べたい数を各位の数字ごとに１ケタのバラバラな数字に分けます。
そして、それを全部足して、その答えが３（９）の倍数になれば、
元の数も３（９）の倍数になります。
足した数がまた大きければ、もう１回繰り返してもいいです。
また、足すときに３，６，９（９の倍数を調べるときは９だけ）は、
足さなくても結果は変わらないので、最初から消してもかまいません。
なぜ、こういったことができるのかは、
中学２年生の練習問題としてよくでてくるので、
自分で試してみてください。

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・７で割り切れる数

最後に、１桁の素数で残っている７についてなのですが、
あまり実用的とはいえません。
それは、
999999 = 142857 × 7
なので、

ある数を６ケタごとに区切って足したとき、その答えが７で割り切れれば元の数も７の倍数

となります。
そもそも７桁以上の数を割る、という場面がどれくらいあるか、という問題もありますし、
６ケタを割るのも簡単じゃありませんね。
だから、あまり使えるテクニックではありませんが、
覚えておけば使うことがあるかもしれません。
ちなみに、自分はいままで使ったことがありませんｗ

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今回は、計算のテクニックみたいな話でした。
こういったのは小手先みたいなものと思われるかもしれませんが、
１つ１つの計算を速く、正確に、楽に進めることができれば、
全体としても楽になるでしょう。
けっこう、この「約数を探す」というのに手間取ったり、
まちがってしまう場面は多いものです。
そういうところをクリアする助けになればと思います。