【数学】約数と素数の話（１）

週の後半は、数学関係の記事を書いていきたいと思います。
テーマは、読んだ本や入試問題などをもとに選びます。

今回から何回かに分けて、約数と素数の周辺について書きます。
これは、某大学の今年の入試問題について、質問を受けたところからきています。

今日の問（入試問題そのままではありません）
１）24の約数は何個あるか？
２）2桁の自然数で、約数を9個持つものはいくつあるか？

小中学生が読む場合も考えて、少し基本的なことがらからはじめます。
分かっている人は飛ばしてください。

１．自然数

まずは、言葉の定義をしていきましょう。
（定義とは、言葉の意味をきちんと決めておくための約束事です）

正の整数を「自然数」といいます。

0は正ではない（正負がない）ので、１からはじまる整数ということになります。
つまり、１，２，３，，，が自然数です。

２．約数

ある自然数を割り切れる数を、その数の「約数」といいます。

例えば、６は３で割り切れるので、３は６の約数です。
このとき、その割った答え（商）の２も、６の約数です。
したがって、約数は必ずペアで現れます。
（９の約数のように、３のペアに３がくるようなこともあります）
これは、約数を探すときに覚えておくと便利です。

３．素数

どんな数でも、１で割り切れます。
また、自分自身でも割り切ることができます。
したがって、2以上の自然数は、かならず１と自分の、２つは約数を持つことになります。
そこで、

その2つ以外に約数を持たない数を「素数」と呼びます。

１は素数には入れないので、素数は、
２，３，５，７，１１，１３・・・
という数になります。
素数の性質については、別の回で詳しくやりますが、
素数は無限に存在します。
また、素数を表す簡単な式（素数をすべて列挙する方法）はありません。

４．素因数分解

どんな自然数も、素数の積としてあらわすことができます。
たとえば、


などです。この表し方は一通りに必ず決まります。
これを「素因数分解の一意性」といいます。
「一意」とは、ただ一通りに決まる、ということで、数学ではとても重要な性質です。
素数の性質に関するきちんとした証明については別の回で扱いたいと思います。

因数として含むことが分かった素数から順に割っていけば、
かならず素因数分解を行うことができます。
そういった計算テクニックのようなことは別の回で触れたいと思います。

５．素因数分解と約数の個数

いよいよ問題のひとつめについて考えましょう。

１）24の約数は何個あるか？

これにはまず、24を素因数分解してみます。

24を割り切れる数というのは、2を0個～3個、3を0個～1個ふくみ、
ほかの素数を含んではいけないことになります。
したがって、全部で４（2の選び方）×2（3の選び方）で8通りあることになります。
よって、24の倍数は8通りということになります。
すべての約数を探して数えるのは大変ですが、
素因数分解ができれば、こちらのほうが確実です。
素因数分解の結果について、それぞれの「べき」部分に1を足したものをかければよいのです。

２）2桁の自然数で、約数を9個持つものはいくつあるか？

このことを利用して、約数を9個もつ自然数は、a,bを素数として、


の2種類あることになります。
しかし、一番小さい素数２をもってきても、

ですから、こちらは2桁の自然数の範囲にはありません。
したがって、2番目のパターンを考えてみると、

だけが2桁で、それ以外は3桁以上になってしまいます。
よって、答えは1個ということになります。

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今回は約数と素数について書きました。
次回も、この周辺のテーマで書きたいと思います。