平面と立体はどう違うか

大学に入ったころ、とくに線形代数を習いたてのころは、
2次元と3次元なんて、ただ基底の数が違うだけだと思っていました。
確かに、次元によらず共通の方法で空間を扱うことのできる点こそが、
線形代数の強みといえるでしょう。
しかし、それはあくまで「線形」代数に限った話であって、
たとえば、平面上の正多角形は無数に存在するが、
空間中の正多面体は5個しか存在しないことは、
3次元空間が2次元とは大きく違うことを示している一例といえるでしょう。




今回読んだ本はこれです。
最初に言っておきますが、途中で挫折しています（苦笑
が、読んでみて非常に勉強になった点が多くありました。

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位相幾何学から見る3次元と2次元の違い

2次元といっても、平面図形のことではなくて、
いろいろな曲面を含む、2次元空間のことです。
空間といっても、ここでは多様体を考えています。
（多様体とは、各点の「ご近所」が定義されており、
ことなる点どうしの「ご近所」がある仕方で対応づけられる、
つまり点と点のつながり方が決められている空間のことです）
この本の前半では、2次元空間の多角形への分割や、
サークルパッキングという円による充填を題材にして、
2次元の多様体が本質的に種数（穴の数）で分類できることが示されます。
そして、3次元多様体では、そうはならないことが後半で示されます。
最後は、体積に関する議論なのですが、ここに行き着くまでに力尽きました・・・
もう少し幾何学の勉強をしてから再チャレンジしたいと思います。

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面積と体積の違いー分割合同

この本の内容とはずれるのですが、2次元と3次元の大きな違いとして、
「分割合同」か否か、というものがあります。
2次元の図形は、面積が同じならば、
一方の図形を分割して組みなおすことにより、
もう一方の図形をっ作ることができます。
これを「分割合同」といいます。（ボヤイ・ゲルヴィンの定理）
一方、体積が等しい２つの立体があったとき、
これらは必ずしも分割合同になるとは限りません。
（立方体と正四面体の場合の「デーンの定理」など）

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バナッハ・タルスキーの定理

一方で、こんな定理もあります。
「球を分割して組みなおすことにより、もとの球と体積の等しい球を２つ作ることができる」
上の使った「分割合同」を用いれば、
「１つの球と、同じ大きさの２つの球は、分割合同である」となります。
これをバナッハ・タルスキーの定理といいます。
こうなると、体積を2倍にしてしまうことができるわけで、
体積の意味が分からなくなってしまいます。
その意味で、これを「パラドックス」と呼ぶ場合もあります。
同じ体積でも分割合同とは限らない。
ところが体積が異なるのに分割合同にできるわけです。

このように、われわれが普段なにげなく使っているほどには、
体積概念は素朴で単純なものではないということになります。
宇宙空間が3次元でできるからこそ、いろいろと多様でおもしろいのかも知れません。

もっと基礎的なところから勉強しなおしてもう一度この本に挑戦したいと思います。